P(x) tiene tres variaci ́ones de signo implica que tiene 1 ́o 3 ceros positivos.
P (−x) = −x3 − 6x2 − 11x − 6, no tiene variación de signo implica que no tiene ceros negativos.

Entonces,

P(x)=x3 −6x2 +11x−6=(x−1)(x2 −5x+6)=(x−1)(x−2)(x−3).

Por lo tanto los ceros son 1, 2, y 3.

P(x) tiene dos variaci ́ones de signo implica que tiene 0 ́o 2 ceros positivos.
P (−x) = −x3 − 4x2 + x + 4, tiene una variación de signo implica que tiene 1 cero negativo.

P(x)=x3 −4x2 −x+4=(x−1)(x2 −3x−4)=(x−1)(x−4)(x+1).

Por lo tanto los ceros son −1, 1 y 4.

P(x) no tiene variaci ́ones de signo implica que no tiene ceros positivos.
P (−x) = −x3 + 12x2 − 21x + 10, tiene 3 variaciones de signo implica que tiene 1 ́o 3 ceros negativos.

P(x) = x3 +12x2 +21x+10 = (x+1)(x2 +11x+10) = (x+1)(x+1)(x+10) = (x + 1)2(x + 10).

Por lo tanto los ceros son −1 y −10.

P(x) tiene 3 variaci ́ones de signo implica que tiene 1 ́o 3 ceros positivos.
P (−x) = −x3 − 4x2 − 5x − 2, no tiene variaciones de signo implica que no tiene ceros negativos.

P(x) = x3 −4x2 +5x−2 = (x−1)(x2 −3x+2) = (x−1)(x−1)(x−2) = (x−1)2(x−2).

P(x) tiene 1 variaci ́on de signo implica que tiene 1 cero positivo.
P (−x) = −2x3 + 3x2 − 1, tiene 2 variaciones de signo implica que tiene 0 ́o 2 ceros negativos.

P(x) = 2x3 +3x2 −1 = (x+1)(2x2 +x−1) = (x+1)(2x−1)(x+1) = (x + 1)2(2x − 1).

1 Por lo tanto los ceros son −1 y 1/2

P(x) tiene 1 variaci ́on de signo implica que tiene 1 cero positivo.
P (−x) = −4x3 + 3x − 1, tiene 2 variaciones de signo implica que tiene 0 ́o 2 ceros negativos.

Entonces,

P(x) = 4x3 −3x−1 = (x−1)(4x2 +4x+1) = (x−1)(2x+1)(2x+1) = 2

(x−1)(2x+1) .

Por lo tanto los ceros son 1 y −1/2.

Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±2, ±4, ±2, ±4.

P(x) no tiene variaci ́on de signo implica que no tiene ceros positivos.
P (−x) = −4x3 + 3x2 − 8x + 6, tiene 3 variaciones de signo implica que tiene 1 ́o 3 ceros negativos.