FUNCIONES

¿Qué es una función matemática?

Cuando hablamos de una función matemática de un conjunto A en un conjunto B nos referimos a una regla o mecanismo que relaciona los elementos del conjunto A con un elemento del conjunto B.

ANTECEDENTES

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo xvii. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables.

Leibniz en particular acuñó los términos “función”, “variable”, “constante” y “parámetro”. 

La notación f(x) fue utilizada por primera vez por el francés Alexis Claude Clairaut, y por el suizo Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una función se identificaba, a efectos prácticos, con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las dependencias entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837, el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. Durante el siglo xix los matemáticos alemanes Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass y Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos xix y xx surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos.

Es importante conocer la diferencia entre una relación y una función:

• Una relación es una correspondencia de elementos entre dos conjuntos.

• Una función es una relación en donde a cada elemento de un conjunto (A) le corresponde uno y sólo un elemento de otro conjunto (B).

Todas las funciones tienen un dominio y un contradominio.

• Dominio: conjunto de los elementos que definen la función, es decir, los elementos que se van a asociar con otro conjunto (los que sólo pueden asociarse una vez).

• Contradominio: también llamado imagen, rango o codominio, es el conjunto de elementos que son el resultado de la asociación del dominio bajo la relación.

Hay varios tipos de funciones, algunas de ellas son las siguientes:

Funciones algebraicas: Las características generales de estas funciones son: a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o menor que cero. c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.

Funciones polinómicas:

1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).

2) Son siempre continuas.

3) No tienen asíntotas.

4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.

Funciones a trozos: Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo. (los límites laterales no coinciden).

Funciones racionales: a) El dominio de definición son todos los números reales menos las raíces del denominador. b) Son discontinuas en los valores de x que son las raíces del denominador. c) Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador.

EJEMPLOS 

1. Las siguientes expresiones son funciones:

2. Las siguientes son relaciones que no son funciones:

es elemento del contra dominio, no se cumple que para todo elemento del dominio haya a lo más un elemento del contra dominio.

1. Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

2.Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

R =  {(x, y) / x + y = 3}

EJERCICIOS

1) Con los conjuntos A={1,2,3}y B={a,b},obtener los productos cartesianos AxB y BxA

Solución:

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Véase que AxB ≠ BxA , esto es, el producto cartesiano no es conmutativo

Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la región que representa AxB y BxA , por ser intervalos abiertos de números reales, que no incluyen los extremos del intervalo tanto el conjunto A como el B .

VIDEOS EXPLICATIVOS